Kalau kamu lagi perlu jawaban dari soal: Dengan menggunakan koordinat bola, hitung integral lipat tiga berikut. Hint:gunakan metode substitus…, maka teman-teman berada di halaman yang tepat.
Di artikel ini tersedia beberapa solusi mengenai pertanyaan itu. Silahkan lanjutkan membaca …
——————
Soal
Dengan menggunakan koordinat bola, hitung integral lipat tiga berikut.
Hint:gunakan metode substitusi
Solusi #1 untuk Soal: Dengan menggunakan koordinat bola, hitung integral lipat tiga berikut.
Hint:gunakan metode substitusi
[tex]Hasil~dari~\int\limits^1_{-1} {\int\limits^{\sqrt{1-x^2}}_{-\sqrt{1-x^2}} {\int\limits^{\sqrt{1-x^2-y^2}}_0 {e^{-(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}}} \, dz } \, dy } \, dx~adalah~\frac{4\pi}{3}[1-\frac{1}{e}][/tex]
PEMBAHASAN
Hubungan antara koordinat kartesius dengan koordinat bola adalah sebagai berikut :
[tex](x,y,z)=(\rho,\phi,\theta)[/tex]
[tex]x=\rho sin\phi cos\theta\\\\y=\rho sin\phi sin\theta\\\\z=\rho cos\phi\\\\\rho=x^2+y^2+z^2[/tex]
Adapun untuk batas batas sumbu
[tex]\rho,~\phi,~dan~\theta~adalah\\\\\rho\geq 0\\\\0\leq \theta\leq 2\pi\\\\0\leq \phi\leq \pi\\[/tex]
Sedangkan perubahan dari integral koordinat kartesius ke koordinat bola adalah :
[tex]\int\limits {\int\limits {\int\ {f(x,y,z)} \, } \, } \, dV=\int\limits {\int\limits {\int\ {f(\rho sin\phi cos\theta,\rho sin\phi sin\theta,\rho cos\phi)\rho^2sin\phi} \, d\rho} \, d\theta} \, d\phi[/tex]
.
DIKETAHUI
[tex]\int\limits^1_{-1} {\int\limits^{\sqrt{1-x^2}}_{-\sqrt{1-x^2}} {\int\limits^{\sqrt{1-x^2-y^2}}_0 {e^{-(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}}} \, dz } \, dy } \, dx\\[/tex]
.
DITANYA
Hitung integral lipat tersebut menggunakan koordinat bola
.
PENYELESAIAN
> Tentukan batas batas integral
1. Untuk sumbu x, equivalen dengan sumbu ρ. Karena ρ ≥ 0 maka batas untuk sumbu ρ adalah 0 ≤ ρ ≤ 1
2. Untuk sumbu y, equivalen dengan sumbu [tex]\phi[/tex]. Karena 0 ≤ [tex]\phi[/tex] ≤ 2π maka batas untuk sumbu [tex]\phi[/tex] adalah 0 ≤ [tex]\phi[/tex] ≤ 2π
3. untuk sumbu z, equivalen dengan sumbu θ. Karena 0 ≤ θ ≤ π maka batas untuk sumbu θ adalah 0 ≤ θ ≤ π
.
> Tentukan hasil integralnya
[tex]\int\limits^1_{-1} {\int\limits^{\sqrt{1-x^2}}_{-\sqrt{1-x^2}} {\int\limits^{\sqrt{1-x^2-y^2}}_0 {e^{-(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}}} \, dz } \, dy } \, dx\\\\=\int\limits^1_0 {\int\limits^{2\pi}_0 {\int\limits^{\pi}_0 {e^{-(\rho^2)^{\frac{3}{2}}}\rho^2sin\phi} \, d\phi} \, d\theta} \, d\rho\\\\=\int\limits^1_0 {\int\limits^{2\pi}_0 {[-\rho^2e^{-\rho^3}cos\phi|^{\pi}_0]} \, d\theta} \, d\rho\\[/tex]
[tex]\\=\int\limits^1_0 {\int\limits^{2\pi}_0 {[-\rho^2e^{-\rho^3}(cos\pi-cos0)]} \, d\theta} \, d\rho\\\\=\int\limits^1_0 {\int\limits^{2\pi}_0 {[-\rho^2e^{-\rho^3}(-2)]} \, d\theta} \, d\rho\\\\=\int\limits^1_0 {\int\limits^{2\pi}_0 {[2\rho^2e^{-\rho^3}]} \, d\theta} \, d\rho\\\\=\int\limits^1_0 {[2\rho^2e^{-\rho^3}\theta|^{2\pi}_0]} \, d\rho\\\\=\int\limits^1_0 {[2\rho^2e^{-\rho^3}(2\pi}-0)]} \, d\rho\\[/tex]
[tex]\\=\int\limits^1_0 {[4\pi\rho^2e^{-\rho^3}]} \, d\rho~~~~~~~~~~~…misal~u=-\rho^3~\to~du=-3\rho^2d\rho\\\\=\int\limits^1_0 {[4\pi\rho^2e^u]} \, \frac{du}{-3\rho^2}\\\\=-\frac{4\pi}{3}\int\limits^1_0 {e^u} \, du\\=-\frac{4\pi}{3}e^u|^1_0~~~~~~~~~~…substitusi~kembali~u=-\pho^3\\\\=-\frac{4\pi}{3}e^{-\rho^3}|^1_0\\\\=-\frac{4\pi}{3}[e^{-(1)^3}-e^{-(0)^3}]\\\\=-\frac{4\pi}{3}[e^{-1}-1]\\\\=\frac{4\pi}{3}[1-\frac{1}{e}]\\[/tex]
.
KESIMPULAN
[tex]Hasil~dari~\int\limits^1_{-1} {\int\limits^{\sqrt{1-x^2}}_{-\sqrt{1-x^2}} {\int\limits^{\sqrt{1-x^2-y^2}}_0 {e^{-(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}}} \, dz } \, dy } \, dx~adalah~\frac{4\pi}{3}[1-\frac{1}{e}][/tex]
.
PELAJARI LEBIH LANJUT
- Integral lipat 3 : https://brainly.co.id/tugas/29243169
- Integral lipat 2 : https://brainly.co.id/tugas/29172689
.
DETAIL JAWABAN
Mapel: Matematika
Kelas : x
Bab : Integral Lipat
Kode Kategorisasi: x.x.x
Kata Kunci : integral lipat tiga, koordinat, bola
——————
Demikianlah tanya-jawab mengenai Dengan menggunakan koordinat bola, hitung integral lipat tiga berikut. Hint:gunakan metode substitus…, diharapkan dengan solusi tadi bisa membantu menjawab pertanyaan teman-teman.
Mungkin teman-teman masih memiliki soal yang lain, silahkan pakai menu pencarian yang ada di situs ini.